Unidad 1 de Álgebra A 62 UBA XXI Cátedra Escayola resuelta

Consideren en $\mathbb{R}^{2}$ el vector $\vec{t}=(4,2)$ y el triángulo cuyos vértices son los extremos de $\vec{v}=(-4,1),\ \vec{w}=(-3,6)$ y $\vec{u}=(-1,7)$.

a) Grafiquen todos los vectores en el plano.

b) Grafiquen, con la misma escala, el triángulo cuyos vértices son los extremos de $\vec{v}+\vec{t},\ \vec{w}+\vec{t}$ y $\vec{u}+\vec{t}$ y el triángulo cuyos vértices son los extremos de $\vec{v}-\vec{t},\ \vec{w}-\vec{t}$ y $\vec{u}-\vec{t}$. ¿Qué efecto geométrico produce sumar el vector $\vec{t}$ a los puntos de $\mathbb{R}^{2}$? ¿Y restar el vector $\vec{t}$?

c) Grafiquen, con la misma escala, el triángulo cuyos vértices son los extremos de $2\vec{v},\ 2\vec{w}$ y $2\vec{u}$ y el triángulo cuyos vértices son los extremos de $\tfrac{1}{2}\vec{v},\ \tfrac{1}{2}\vec{w}$ y $\tfrac{1}{2}\vec{u}$. ¿Qué efecto geométrico produce multiplicar por $2$? ¿Y por $\tfrac{1}{2}$?

EJERCICIO 11

Dado un vector se le realizan dos operaciones consecutivas: primero se lo multiplica por un escalar (dilatación) y luego se le suma otro vector fijo (traslación).

a) Si se le aplican estas dos operaciones al vector $\vec{v}=(1,2)$ en $\mathbb{R}^{2}$ se llega al vector $(-6,12)$. ¿Se puede saber cuál fue la dilatación y cuál la traslación?

b) Si se le aplican las dos operaciones a $\vec{v}=(1,2)$ y $\vec{w}=(3,4)$ en $\mathbb{R}^{2}$ se llega a los vectores $\vec{v}_{1}=(-6,12)$ y $\vec{w}_{1}=(-5,13)$ respectivamente. ¿Se puede saber cuál fue la dilatación y cuál la traslación? Hallarlas.

c) ¿Puede ser que luego de aplicar la misma dilatación y la misma traslación a los vectores $\vec{v}=(1,1)$ y $\vec{w}=(2,-4)$ se llegue a los vectores $\vec{v}_{1}=(2,4)$ y $\vec{v}_{2}=(-2,3)$ respectivamente?

d) Si se le aplican las dos operaciones en $\mathbb{R}^{3}$ a $\vec{v}=(1,1,1)$ se llega a $\vec{v}_{1}=(2,1,5)$. Mostrar que si $\lambda$ es el escalar que da la dilatación, al aplicar las mismas dos operaciones a $\vec{w}=(2,1,3)$ se llega a $(\lambda+2,\ 1,\ 2\lambda+5)$.

EJERCICIO 12

a) Calcular y graficar el punto medio entre (los extremos de) $\vec{v}=(1,4)$ y $\vec{w}=(3,2)$ en $\mathbb{R}^{2}$.

b) Calcular y graficar el punto medio entre (los extremos de) $\vec{v}=(1,7,3)$ y $\vec{w}=(-1,3,0)$ en $\mathbb{R}^{3}$.

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